2-2

We will need these general resources:

(Subscript[σ, 0])=(({{1, 0}, {0, 1}}));
(Subscript[σ, 1])=(({{0, 1}, {1, 0}}));
(Subscript[σ, 2])=(({{0, -I}, {I, 0}}));
(Subscript[σ, 3])=(({{1, 0}, {0, -1}}));
𝕀=(({{1, 0}, {0, 1}}));
(Subscript[𝕆, 4])=(({{0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}));
(Subscript[𝕀, 4])=(({{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}));
Comm[x_,y_]:=x.y-y.x
AntiComm[x_,y_]:=x.y+y.x

P_⊗Q_:=Flatten[Table[Flatten[Table[Part[Outer[Times,P,Q],i,j,k],{j,Dimensions[P][[2]]}]],{i,Dimensions[P][[1]]},{k,Dimensions[Q][[1]]}],1]

Mermin on Bell-Kocher-Specker

Nicholas Wheeler
Reed College Physics
March 2008

Introduction

My objective here is simply to come to a clear understanding of the material N. David Mermin presents in §5 "A simpler Bell-KS theorem in four dimensions" of "Hidden variables and the two theorems of John Bell," Rev. Mod. Phys. 65, 803-815 (1993).

Setting things up

Define

(Subscript[𝕊, 11])=(Subscript[σ, 1])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 12])=𝕀⊗(Subscript[σ, 1]);
(Subscript[𝕊, 13])=(Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1]);
(Subscript[𝕊, 21])=𝕀⊗(Subscript[σ, 2]);
(Subscript[𝕊, 22])=(Subscript[σ, 2])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 23])=(Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]);
(Subscript[𝕊, 31])=(Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 2]);
(Subscript[𝕊, 32])=(Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1]);
(Subscript[𝕊, 33])=(Subscript[σ, 3])⊗(Subscript[σ, 3]);

which we consider to be arranged as follows:

({{(Subscript[𝕊, 11]), (Subscript[𝕊, 12]), (Subscript[𝕊, 13])}, {(Subscript[𝕊, 21]), (Subscript[𝕊, 22]), (Subscript[𝕊, 23])}, {(Subscript[𝕊, 31]), (Subscript[𝕊, 32]), (Subscript[𝕊, 33])}})

Trivially,

({{(Subscript[𝕊, 11]), (Subscript[𝕊, 12]), (Subscript[𝕊, 13])}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}})

and

({{\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 21]), (Subscript[𝕊, 22]), (Subscript[𝕊, 23])}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}})

are commutative sets. Less obviously, so is

({{\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 31]), (Subscript[𝕊, 32]), (Subscript[𝕊, 33])}})

as I demonstrate:

Comm[(Subscript[𝕊, 31]),(Subscript[𝕊, 32])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 31]),(Subscript[𝕊, 33])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 32]),(Subscript[𝕊, 33])]==(Subscript[𝕆, 4])

Similarly for the columns:

({{(Subscript[𝕊, 11]), \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 21]), \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 31]), \[Placeholder], \[Placeholder]}})
({{\[Placeholder], (Subscript[𝕊, 12]), \[Placeholder]}, {\[Placeholder], (Subscript[𝕊, 22]), \[Placeholder]}, {\[Placeholder], (Subscript[𝕊, 32]), \[Placeholder]}})
({{\[Placeholder], \[Placeholder], (Subscript[𝕊, 13])}, {\[Placeholder], \[Placeholder], (Subscript[𝕊, 23])}, {\[Placeholder], \[Placeholder], (Subscript[𝕊, 33])}})

Comm[(Subscript[𝕊, 11]),(Subscript[𝕊, 21])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 11]),(Subscript[𝕊, 31])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 21]),(Subscript[𝕊, 31])]==(Subscript[𝕆, 4])

Comm[(Subscript[𝕊, 12]),(Subscript[𝕊, 22])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 12]),(Subscript[𝕊, 32])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 22]),(Subscript[𝕊, 32])]==(Subscript[𝕆, 4])

Comm[(Subscript[𝕊, 13]),(Subscript[𝕊, 23])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 13]),(Subscript[𝕊, 33])]==(Subscript[𝕆, 4])
Comm[(Subscript[𝕊, 23]),(Subscript[𝕊, 33])]==(Subscript[𝕆, 4])

The product of the matrices in any row is (Subscript[𝕀, 4])

(Subscript[𝕊, 11]).(Subscript[𝕊, 12]).(Subscript[𝕊, 13])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 21]).(Subscript[𝕊, 22]).(Subscript[𝕊, 23])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 31]).(Subscript[𝕊, 32]).(Subscript[𝕊, 33])==(Subscript[𝕀, 4])

So is the product of the matrices in the first two columns

(Subscript[𝕊, 11]).(Subscript[𝕊, 21]).(Subscript[𝕊, 31])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 12]).(Subscript[𝕊, 22]).(Subscript[𝕊, 32])==(Subscript[𝕀, 4])

but the 3rd column is eccentric:

(Subscript[𝕊, 13]).(Subscript[𝕊, 23]).(Subscript[𝕊, 33])==-(Subscript[𝕀, 4])

How the 3rd column comes to be eccentric can be understood as follows:

(Subscript[𝕊, 13]).(Subscript[𝕊, 23]).(Subscript[𝕊, 33])==((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1])).((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2])).((Subscript[σ, 3])⊗(Subscript[σ, 3]))

((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1])).((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2])).((Subscript[σ, 3])⊗(Subscript[σ, 3]))==((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 3]))⊗((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 3]))

(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2])==I (Subscript[σ, 3])

(Subscript[σ, 3]).(Subscript[σ, 3])==𝕀

((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 3]))⊗((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 3]))==(((I))^2)(𝕀⊗𝕀)

From

(Subscript[𝕊, 11]).(Subscript[𝕊, 11])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 12]).(Subscript[𝕊, 12])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 13]).(Subscript[𝕊, 13])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 21]).(Subscript[𝕊, 21])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 22]).(Subscript[𝕊, 22])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 23]).(Subscript[𝕊, 23])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 31]).(Subscript[𝕊, 31])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 32]).(Subscript[𝕊, 32])==(Subscript[𝕀, 4])
(Subscript[𝕊, 33]).(Subscript[𝕊, 33])==(Subscript[𝕀, 4])

we know that the eigenvalues of each of the 𝕊-matrices are ±1. Detailed argument is needed to establish the degeneracies, all of which turn out to be equal:

Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 11])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 12])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 13])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 21])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 22])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 23])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 31])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 32])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕊, 33])]

From

Eigensystem[(Subscript[σ, 1])]

(Subscript[u, 1])=(1/(Sqrt[2]))(({{1}, {1}}))
(Subscript[d, 1])=(1/(Sqrt[2]))(({{1}, {-1}}))

we are led to construct

(Subscript[σ, 1up])=(Subscript[u, 1]).Conjugate[Transpose[(Subscript[u, 1])]];
(Subscript[σ, 1dn])=(Subscript[d, 1]).Conjugate[Transpose[(Subscript[d, 1])]];

which comprise a complete set of orthogonal projection matrices

(Subscript[σ, 1up])+(Subscript[σ, 1dn])//MatrixForm
(Subscript[σ, 1up]).(Subscript[σ, 1dn])//MatrixForm
(Subscript[σ, 1up]).(Subscript[σ, 1up])==(Subscript[σ, 1up])
(Subscript[σ, 1dn]).(Subscript[σ, 1dn])==(Subscript[σ, 1dn])

and provide the spectral resolution of (Subscript[σ, 1]):

(Subscript[σ, 1])==(Subscript[σ, 1up])-(Subscript[σ, 1dn])

Similarly,

Eigensystem[(Subscript[σ, 2])]

Eigensystem[(Subscript[σ, 3])]

lead to the construction of

(Subscript[u, 2])=(1/(Sqrt[2]))(({{-I}, {1}}))
(Subscript[d, 2])=(1/(Sqrt[2]))(({{+I}, {1}}))

(Subscript[u, 3])=(({{1}, {0}}))
(Subscript[d, 3])=(({{0}, {1}}))

whence of projection matrices

(Subscript[σ, 2up])=(Subscript[u, 2]).Conjugate[Transpose[(Subscript[u, 2])]];
(Subscript[σ, 2dn])=(Subscript[d, 2]).Conjugate[Transpose[(Subscript[d, 2])]];
(Subscript[σ, 3up])=(Subscript[u, 3]).Conjugate[Transpose[(Subscript[u, 3])]];
(Subscript[σ, 3dn])=(Subscript[d, 3]).Conjugate[Transpose[(Subscript[d, 3])]];

that permit one to write

(Subscript[σ, 1])==(Subscript[σ, 1up])-(Subscript[σ, 1dn])
(Subscript[σ, 2])==(Subscript[σ, 2up])-(Subscript[σ, 2dn])
(Subscript[σ, 3])==(Subscript[σ, 3up])-(Subscript[σ, 3dn])

With these results in hand we can proceed to construct the spectral resolutions of the 𝕊-matrices, which we need if we are to trace out the results of sequenced 𝕊-measurements.

(Subscript[𝕊, 11up])=(Subscript[σ, 1up])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 11dn])=(Subscript[σ, 1dn])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 11])==(Subscript[𝕊, 11up])-(Subscript[𝕊, 11dn])

(Subscript[𝕊, 12up])=𝕀⊗(Subscript[σ, 1up]);
(Subscript[𝕊, 12dn])=𝕀⊗(Subscript[σ, 1dn]);
(Subscript[𝕊, 12])==(Subscript[𝕊, 12up])-(Subscript[𝕊, 12dn])

(Subscript[𝕊, 13up])=(Subscript[σ, 1up])⊗(Subscript[σ, 1up])+(Subscript[σ, 1dn])⊗(Subscript[σ, 1dn]);
(Subscript[𝕊, 13dn])=(Subscript[σ, 1up])⊗(Subscript[σ, 1dn])+(Subscript[σ, 1dn])⊗(Subscript[σ, 1up]);
(Subscript[𝕊, 13])==(Subscript[𝕊, 13up])-(Subscript[𝕊, 13dn])

(Subscript[𝕊, 21up])=𝕀⊗(Subscript[σ, 2up]);
(Subscript[𝕊, 21dn])=𝕀⊗(Subscript[σ, 2dn]);
(Subscript[𝕊, 21])==(Subscript[𝕊, 21up])-(Subscript[𝕊, 21dn])

(Subscript[𝕊, 22up])=(Subscript[σ, 2up])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 22dn])=(Subscript[σ, 2dn])⊗𝕀;
(Subscript[𝕊, 22])==(Subscript[𝕊, 22up])-(Subscript[𝕊, 22dn])

(Subscript[𝕊, 23up])=(Subscript[σ, 2up])⊗(Subscript[σ, 2up])+(Subscript[σ, 2dn])⊗(Subscript[σ, 2dn]);
(Subscript[𝕊, 23dn])=(Subscript[σ, 2up])⊗(Subscript[σ, 2dn])+(Subscript[σ, 2dn])⊗(Subscript[σ, 2up]);
(Subscript[𝕊, 23])==(Subscript[𝕊, 23up])-(Subscript[𝕊, 23dn])

(Subscript[𝕊, 31up])=(Subscript[σ, 1up])⊗(Subscript[σ, 2up])+(Subscript[σ, 1dn])⊗(Subscript[σ, 2dn]);
(Subscript[𝕊, 31dn])=(Subscript[σ, 1up])⊗(Subscript[σ, 2dn])+(Subscript[σ, 1dn])⊗(Subscript[σ, 2up]);
(Subscript[𝕊, 31])==(Subscript[𝕊, 31up])-(Subscript[𝕊, 31dn])

(Subscript[𝕊, 32up])=(Subscript[σ, 2up])⊗(Subscript[σ, 1up])+(Subscript[σ, 2dn])⊗(Subscript[σ, 1dn]);
(Subscript[𝕊, 32dn])=(Subscript[σ, 2up])⊗(Subscript[σ, 1dn])+(Subscript[σ, 2dn])⊗(Subscript[σ, 1up]);
(Subscript[𝕊, 32])==(Subscript[𝕊, 32up])-(Subscript[𝕊, 32dn])

(Subscript[𝕊, 33up])=(Subscript[σ, 3up])⊗(Subscript[σ, 3up])+(Subscript[σ, 3dn])⊗(Subscript[σ, 3dn]);
(Subscript[𝕊, 33dn])=(Subscript[σ, 3up])⊗(Subscript[σ, 3dn])+(Subscript[σ, 3dn])⊗(Subscript[σ, 3up]);
(Subscript[𝕊, 33])==(Subscript[𝕊, 33up])-(Subscript[𝕊, 33dn])

When a compatible triple of meters—let it be (say)

({{(Subscript[𝕊, 11]), (Subscript[𝕊, 12]), (Subscript[𝕊, 13])}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}})

is used to examine a system in state ψ we expect the meters to announce { (Subscript[S, 11]), (Subscript[S, 12]), (Subscript[S, 13])} where each of the (Subscript[S, 1k]) = ±1. But from

(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 12up]).(Subscript[𝕊, 13up])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 12up]).(Subscript[𝕊, 13dn])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 12dn]).(Subscript[𝕊, 13up])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 12dn]).(Subscript[𝕊, 13dn])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 12up]).(Subscript[𝕊, 13up])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 12up]).(Subscript[𝕊, 13dn])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 12dn]).(Subscript[𝕊, 13up])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 12dn]).(Subscript[𝕊, 13dn])

we see that four of the eight possibilities are excluded. The lively possibilities are those for which the number of minus ones is even:

(Subscript[S, 11])(Subscript[S, 12])(Subscript[S, 13])=+1

Hidden variable theorists would claim that the meters responded as they did—let's say they responded {+1, -1, -1} because hidden within the design of the state ψ was an "instruction set" that says
      • if you encounter an (Subscript[𝕊, 11])-meter, say +1; 
      • if you encounter an (Subscript[𝕊, 12])-meter, say --1; 
      • if you encounter an (Subscript[𝕊, 13])-meter, say --1.

Suppose now that a system in that same state (meaning "state equipped with the same instruction set") is presented to the compatible triple

({{(Subscript[𝕊, 11]), \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 21]), \[Placeholder], \[Placeholder]}, {(Subscript[𝕊, 31]), \[Placeholder], \[Placeholder]}})

The lively possibilities pertain to the same pattern as was encountered just above:

(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 21up]).(Subscript[𝕊, 31up])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 21up]).(Subscript[𝕊, 31dn])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 21dn]).(Subscript[𝕊, 31up])
(Subscript[𝕊, 11up]).(Subscript[𝕊, 21dn]).(Subscript[𝕊, 31dn])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 21up]).(Subscript[𝕊, 31up])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 21up]).(Subscript[𝕊, 31dn])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 21dn]).(Subscript[𝕊, 31up])
(Subscript[𝕊, 11dn]).(Subscript[𝕊, 21dn]).(Subscript[𝕊, 31dn])

Contextuality

"Non-contextual" hidden variable theories—those that hold the hidden variables {(Subscript[S, 11]), (Subscript[S, 12]), (Subscript[S, 13]), (Subscript[S, 21]), (Subscript[S, 31]), . . . } to be fixed attributes of the system—are theories in which it is axiomatic that

(Subscript[S, 11])=(Subscript[S, 11])

In a such a world one could use ({{(Subscript[𝕊, 11]), (Subscript[𝕊, 12]), (Subscript[𝕊, 13])}}),  ({{(Subscript[𝕊, 21]), (Subscript[𝕊, 22]), (Subscript[𝕊, 23])}}) and ({{(Subscript[𝕊, 31]), (Subscript[𝕊, 32]), (Subscript[𝕊, 33])}}) to fill

({{\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder], \[Placeholder]}})

with ±1s, and would be assured that the product of the entries in any row =1. In a non-contextual world one could, if provided with systems in that same state, use ({{(Subscript[𝕊, 11])}, {(Subscript[𝕊, 21])}, {(Subscript[𝕊, 31])}}), ({{(Subscript[𝕊, 12])}, {(Subscript[𝕊, 22])}, {(Subscript[𝕊, 32])}}) and ({{(Subscript[𝕊, 13])}, {(Subscript[𝕊, 23])}, {(Subscript[𝕊, 33])}}) to obtain precisely the same pattern of ±1s. But if the hidden variable theory is to reproduce the results of quantum mechanics one must have (row)×(row)×(row) = +1, while mere rearrangment of the same data is required to give (column)×(column)×(column) = --1, which is impossible.

What this demonstrates is not that hidden variable theories are impossible, but that any successful hidden variable theory must be context-dependent (contextual).

It was bad enough when every (({{(Subscript[ψ, 1])}, {(Subscript[ψ, 2])}, {(Subscript[ψ, 3])}, {(Subscript[ψ, 4])}}))had to carry within it deterministic instruction sets sufficient to tell the system how to respond to every possible observable (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13]), (Subscript[a, 14])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23]), (Subscript[a, 24])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33]), (Subscript[a, 34])}, {(Subscript[a, 41]), (Subscript[a, 42]), (Subscript[a, 43]), (Subscript[a, 44])}})) that it might encounter. Much worse if such instructions have to be written in a way that anticipates every possible context! (Or they might be written into measurement devices, but then we have a theory in which all the players have hidden attributes.)

Mermin's pentogram

I turn now, following in Mermin's footsteps, to discussion of a related system. I borrow now heavily from an old notebook, "Mermin's Pentogram." Mermin defines a collection of ten 8×8 hermnitian matrices

AA=(Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 0])⊗(Subscript[σ, 0]));
BB=(Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]));
CC=(Subscript[σ, 0])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 0]));
DD=(Subscript[σ, 0])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 0]));
EE=(Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1]));
AB=(Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 2]));
BC=(Subscript[σ, 0])⊗((Subscript[σ, 0])⊗(Subscript[σ, 2]));
CD=(Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 0])⊗(Subscript[σ, 0]));
DE=(Subscript[σ, 0])⊗((Subscript[σ, 0])⊗(Subscript[σ, 1]));
EA=(Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1]));

which he associates with the points marked on the following pentogram:

The matrices on any one of the 5 lines comprise a commutative set:

Along the line AA⟷CC:

Comm[AA,AB]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[AA,BC]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[AA,CC]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[AB,BC]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[AB,CC]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[BC,CC]==(Subscript[𝕆, 8])

Along the line BB⟷DD:

Comm[BB,BC]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[BB,CD]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[BB,DD]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[BC,CD]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[BC,DD]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[CD,DD]==(Subscript[𝕆, 8])

Along the line CC⟷EE:

Comm[CC,CD]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[CC,DE]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[CC,EE]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[CD,DE]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[CC,EE]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[DE,EE]==(Subscript[𝕆, 8])

Along the line DD⟷AA:

Comm[DD,DE]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[DD,EA]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[DD,AA]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[DE,EA]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[DE,AA]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[EA,AA]==(Subscript[𝕆, 8])

Along the line EE⟷BB:

Comm[EE,EA]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[EE,AB]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[EE,BB]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[EA,AB]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[EA,BB]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[AB,BB]==(Subscript[𝕆, 8])

({{AA, AB, BC, CC}, {BB, BC, CD, DD}, {CC, CD, DE, EE}, {DD, DE, EA, AA}, {EE, EA, AB, BB}})

Multiplying elements on the first four rows we get

AA.AB.BC.CC==(Subscript[𝕀, 8])
BB.BC.CD.DD==(Subscript[𝕀, 8])
CC.CD.DE.EE==(Subscript[𝕀, 8])
DD.DE.EA.AA==(Subscript[𝕀, 8])

but the fifth row is eccentric:

EE.EA.AB.BB==-(Subscript[𝕀, 8])

It is clear already from their definitions, therefore no surprise that

AA.AA==(Subscript[𝕀, 8])
BB.BB==(Subscript[𝕀, 8])
CC.CC==(Subscript[𝕀, 8])
DD.DD==(Subscript[𝕀, 8])
EE.EE==(Subscript[𝕀, 8])
AB.AB==(Subscript[𝕀, 8])
BC.BC==(Subscript[𝕀, 8])
CD.CD==(Subscript[𝕀, 8])
DE.DE==(Subscript[𝕀, 8])
EA.EA==(Subscript[𝕀, 8])

so the eigenvalues of each of the ten matrices range on ±1. To discover their respective degeneracies we compute

Eigenvalues[AA]
Eigenvalues[BB]
Eigenvalues[CC]
Eigenvalues[DD]
Eigenvalues[EE]
Eigenvalues[AB]
Eigenvalues[BC]
Eigenvalues[CD]
Eigenvalues[DE]
Eigenvalues[EA]

Let the operators in a row operate upon some/any state ψ. The result will fill the row with ±1s, deployed in such a way that multiplication of the entries in rows #1 through #4 gives +1 in each case, but multiplication along the 5th row gives --1. 

If we considered the entries to have been placed there by non-contextual hidden variables that luck inside ψ then it would make sense to multiply all 20 of the entries. That product is known by quantum mechanical calculation to be (+1)(+1)(+1)(+1)(--1) = --1. But each or our ten operators appears at the intersection of two lines in the pentogram, appears twice in the 20 element table:

({{AA, AB, BC, CC}, {BB, BC, CD, DD}, {CC, CD, DE, EE}, {DD, DE, EA, AA}, {EE, EA, AB, BB}})

Non-contextuality requires than (for example) AA be assigned the same value at both of its occurences in the table, so the product of all entries is required by the non-contextual hidden variable hypotheses to be +1. Which is starkly inconsistent with the quantum mechanical facts.

Bohr took philosophical exception to non-contextuality, to the notion that we can speak of the properties of a system in disregard of the instruments used to observe those properties.

Mermin's 4-dimensional and 8-dimensional constructions (developed in his §5 and §6) lead to no-go theorems by essentially the same logic, and are presented as simple demonstrations of the up-shot of the father of all such no-go theorems, the Bell-Kochen-Specker theorem, developed in his §4, which is itself (§1) reportedly an implication (special case) of Gleason's theorem (1957).

Weak evidence in support of non-contextuality

In his §7 Mermin mentions—in weak support of the non-contextuality idea—the "elementary theorem of quantum mechanics" according to which, for every state ψ, the marginal probabilities associated with the data generated by meter 𝔸 is independent of what observables 𝔹, ℂ, ... are used to resolve the degeneracy of the 𝔸 spectrum (i.e., to complete the commuting set). If I were working in TEX I would write out the general proof, but here I find it easiest to demonstrate the point by example:

For purposes of the present argument, I give new names to the matrices formerly known as (Subscript[𝕊, 11]), (Subscript[𝕊, 12]) and (Subscript[𝕊, 21])

𝔸=(Subscript[σ, 1])⊗𝕀;
𝔹=𝕀⊗(Subscript[σ, 1]);
ℂ=𝕀⊗(Subscript[σ, 2]);

and to the projectors that enter into their respective spectral resolutions:

(Subscript[𝔸, up])=(Subscript[𝕊, 11up]);
(Subscript[𝔸, dn])=(Subscript[𝕊, 11dn]);
(Subscript[𝔹, up])=(Subscript[𝕊, 12up]);
(Subscript[𝔹, dn])=(Subscript[𝕊, 12dn]);
(Subscript[ℂ, up])=(Subscript[𝕊, 21up]);
(Subscript[ℂ, dn])=(Subscript[𝕊, 21dn]);

At this point we have

𝔸==(Subscript[𝔸, up])-(Subscript[𝔸, dn])
𝔹==(Subscript[𝔹, up])-(Subscript[𝔹, dn])
ℂ==(Subscript[ℂ, up])-(Subscript[ℂ, dn])

The matrices 𝔸 and 𝔹—which commute

Comm[𝔸,𝔹]==(Subscript[𝕆, 4])

—have degenerate spectra

Eigenvalues[𝔸]
Eigenvalues[𝔹]

but collaborate to resolve each other's degeneracy:

Eigenvalues[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, dn])]

The  same can be said of 𝔸 and ℂ

Comm[𝔸,ℂ]==(Subscript[𝕆, 4])
Eigenvalues[𝔸]
Eigenvalues[ℂ]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, dn])]

The point to notice is that , while 𝔹 and ℂ both commute with 𝔸, they do not commute with each other:

Comm[𝔹,ℂ]==(Subscript[𝕆, 4])

𝔸 and 𝔹 give rise—after specification of

Ψ=(({{(Subscript[ψ, 1])}, {(Subscript[ψ, 2])}, {(Subscript[ψ, 3])}, {(Subscript[ψ, 4])}}));

—to the joint distribution table

({{(Subscript[ab, upup]), (Subscript[ab, updn])}, {(Subscript[ab, dnup]), (Subscript[ab, dndn])}})

with

(Subscript[ab, upup])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, up]).Ψ]].(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, up]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ab, updn])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, dn]).Ψ]].(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[𝔹, dn]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ab, dnup])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, up]).Ψ]].(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, up]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ab, dndn])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, dn]).Ψ]].(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[𝔹, dn]).Ψ)[[1]][[1]];

Use of 𝔸 and ℂ give rise similarly to

({{(Subscript[ac, upup]), (Subscript[ac, updn])}, {(Subscript[ac, dnup]), (Subscript[ac, dndn])}})

with

(Subscript[ac, upup])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, up]).Ψ]].(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, up]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ac, updn])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, dn]).Ψ]].(Subscript[𝔸, up]).(Subscript[ℂ, dn]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ac, dnup])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, up]).Ψ]].(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, up]).Ψ)[[1]][[1]];
(Subscript[ac, dndn])=(Conjugate[Transpose[(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, dn]).Ψ]].(Subscript[𝔸, dn]).(Subscript[ℂ, dn]).Ψ)[[1]][[1]];

The point to which Mermin draws our attention is that, whether we work from {𝔸, 𝔹} or from {𝔸, 𝔹}, we are led to the same marginal distribution in 𝔸-values:

(Subscript[ab, upup])+(Subscript[ab, updn])==(Subscript[ac, upup])+(Subscript[ac, updn])//Simplify
(Subscript[ab, dnup])+(Subscript[ab, dndn])==(Subscript[ac, dnup])+(Subscript[ac, dndn])//Simplify

Of course, the sum of the marginal probabilities—whichever way you arrive at them—is unity

(Subscript[ab, upup])+(Subscript[ab, updn])+(Subscript[ab, dnup])+(Subscript[ab, dndn])//Simplify
(Subscript[ac, upup])+(Subscript[ac, updn])+(Subscript[ac, dnup])+(Subscript[ac, dndn])//Simplify

by the normalization of ψ.